профилирование дозвуковых и звуковых сопел

1 Mb.страница4/8Дата конвертации24.09.2011Размер1 Mb.Тип Смотрите также:       4         ^ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ В этом разделе рассмотрим вначале основы математического моделирования одномерных движений идеального газа. С этой целью выведем изоэнтропийные соотношения для идеального газа, которые применим при создании математической модели течения газа по соплу Лаваля. Затем рассмотрим математическое моделирование плоских безвихревых движений идеального сжимаемого газа, на основе которого разработаем математические модели дозвукового и сверхзвукового обтеканий тонких профилей потоком идеального сжимаемого газа. Если вдоль линии тока или траектории движения (при стационарных процессах) энтропия S сохраняет свою величину, то такое движение называется изоэнтропийным. Адиабатический обратимый процесс, у которого или , является изоэнтропийным процессом. Введем понятие скорости звука a при изоэнтропийном движении идеального сжимаемого газа. Из вывода волнового уравнения в курсе математической физики местная скорость звука . Используем уравнение адиабатического процесса (адиабата Пуассона) , (2.1) где k показатель адиабаты. Найдем ; , откуда . Взяв константу из (2.1) и подставив в последнее уравнение, получим . Если использовать уравнение Клапейрона (R универсальная газовая постоянная), то . С учетом этих соотношений .(2.2) Впервые эта формула была получена Лапласом и носит название лапласовой скорости звука , в отличие от ньютоновой скорости звука , выведенной Ньютоном из условия изотермического распространения звука. В самом деле, при изотермическом процессе при Т=const из уравнения Клапейрона следует: , тогда , откуда и, следовательно, . Спор при жизни этих великих ученых так и не был разрешён, и лишь в дальнейшем проведенные точные эксперименты по измерению скорости распространения звука в различных телах подтвердили правильность формулы Лапласа, а, следовательно, и его утверждения, что процесс распространения звука в средах является адиабатическим, и для него . Изоэнтропийные соотношения для идеального газа Интеграл Бернулли уравнения энергии для единицы массы газа: ,(2.3) где h энтальпия (или полное теплосодержание), П потенциал массовых сил. При пренебрежении массовыми силами (П=0) получим: . Записав выражение для нулевых условий, получим . Здесь индекс «0» соответствует скорости потока =0, т.е. скорости заторможенного потока. Тогда. (2.4) В этом случае уравнение (2.4) определяет энтальпию адиабатически заторможенного потока. Далее все параметры без индекса будем называть статическими параметрами, а параметры с индексом «0» - параметрами торможения или заторможенными параметрами. Поскольку , , где - теплоёмкость при постоянном давлении, которую будем считать постоянной при движении газа, то с учётом (2.4): . Из этого соотношения можно найти температуру адиабатически заторможенного потока или температуру торможения: .(2.5) Преобразуем выражение следующим образом: . Используя далее соотношение Майера и выражение для отношения теплоёмкостей ( теплоёмкость при постоянном объёме), получим: . Таким образом: (2.6)

Учебное пособие Рекомендовано научно-методическим советом по прикладной математике умо университетов в качестве учебного пособия Издательство "Самарский университет"

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ - Учебное пособие Рекомендовано научно-методическим советом по прикладной...